【奥数第9题】2015年4月21日

plr

老师在黑板上写上0， 然后甲和乙轮流在黑板上“0”的
后面依次添加符号，甲能写的符号是“+”和“-”，乙能写
的符号是从1到2013的自然数，乙写的数字不能重复，
两人各写2013次。最后黑板上的算式的结果的绝对值是
乙的得分。已知甲和乙都足够聪明，甲的目的是使乙的
得分低，乙的目的是使自己的得分高。

请问：最后乙的得分是多少？

北大侠客行MUD，中国最好的MUD

hash

2026

all

想都不用想，斐波那契。

all

2013

plr

过程，过程啊？简单写一下下啊

all

先说谁的答案正确。要是hash的对，我就不写了。

evilswordsl

2013

ajump

甲全他妈写上 - 号，一个+号都不写，乙怎么得出2013的？

ajump

哦，绝对值啊，我都比了。

all

（1）首先考虑只剩下最后两个数的时候，不妨设为x和y，x 假定a>=0,此时如果甲写“+”，则乙写y，就算后面甲写“-”，也能保证最后结果的绝对值最大：为a+y-x。因此甲不会写“+”，只会写“-”，则乙应对应写x，之后甲根据a-x的结果决定后面是写“+”还是“-”，如果a-x>=0，则写“-”，如果a-x<=0，则写“+”，乙的最后得分为|y-(|a-x|)|。
类似的，如果a<0时，则甲此时会写“+”，乙接下来写x，最后得分仍为|y-(|a-x|)|。
乙要想得最高分，y越大越好，|a-x|越小越好，因此乙会把最大的数2013留到最后，然后想办法使前面2012个数的结果的绝对值最小。
（2）考虑4个连续自然数n,n+1,n+2,n+3，可以分成2组，使得n+(n+3)=(n+1)+(n+2)，把每个数选择一个正负号，可以使这4个带符号的数的和为0，不妨选n和n+3为“+”，另两个为“-”。
（3）考虑从1到m的连续自然数，从m开始往小的方向，每4个数分为1组，每组的4个数选择“+”和“-”，使其和为0，则最后不够1组的情况只有3种：
1，2，3，此时可以选+1+2-3=0；
1，2，此时选-1+2，结果的绝对值为1；
1，选+1，此时结果的绝对值为1。
因此从1到m的这些自然数选择不同的符号，结果的绝对值最小为0或1。
（4）下面考虑乙的策略。把最大的数y留到最后，针对甲写的符号，甲写“+”，乙就写选择“+”号的那些数里面的一个，反之就写选择“-”号的里面一个。当一个符号的所有数都用完了时，比如“+”号的数都用完了，则接下来甲必定一直写“-”号，否则甲写“+”的话，乙只要写“y”，就算甲接下来全写“-”，也能保证自己的得分最高。（如果“-”号的数都用完了，接下来甲必定写“+”，类似分析）
直到剩下最后两个数x和y，根据（1）中的分析，最后乙的得分为y或y-1。
（5）本题中，y=2013，前面2012个数分成4个1组，刚好分完，没有剩余，因此可以保证前2012个数的结果为0，乙最终得分2013。